Comment additionner des matrices ?

Précautions

On ne peut additionner que des matrices de même taille.

Définition

Soit deux matrices  \(A\) et  \(B\) de taille \(m\times n\) . La somme de  \(A\) et  \(B\) est la matrice  \(C=A+B\) telle que, pour tous  \(i\in\{1~;...;m\};\) et  \(j\in\{1~;...;n\}\) , on a \(c_{ij}=a_{ij} + b_{ij}\) .

Remarque

Il s’agit d’une généralisation de l’addition de vecteurs.

Propriétés

Comme pour l’addition de deux vecteurs, l’addition de matrice est :

• commutative : \(A+B = B+A\)  ;
  
• associative : \(A+ (B+C) = (A+ B)+C = A+ B+C\)  ;
  
• on peut définir la matrice  \(M\) opposée de \(A\) , notée \(-A\) , dont les coefficients sont  \(m_{ij}=-a_{ij}\) pour tout \(i\in\{1~;...;m\}\)  et \(j\in\{1~;...;n\}\)  ;
  
• la matrice nulle  \(O_{m,n}\) de taille  \(m\times n\) est un élément neutre pour l’addition des matrices de taille \(m\times n\) , c’est-à-dire que, pour toute matrice \(A\)  de taille  \(m\times n\) , on a  \(A+0_{m,n}=0_{m,n}+A=A\) et \(-A\)  est la matrice qui vérifie  \(A+(-A)=0_{m,n}\) . On dit que  \(-A\)  est la matrice opposée à  \(A\) .